Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，半徑為1的動(dòng)圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動(dòng)（包含端點(diǎn)A,C,D），P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得,＝（ 4，0），.由圖可知，當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，P.此時(shí)m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+ ．當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)C或點(diǎn)A時(shí)，利用三角函數(shù)求m+n的最小值．

解：如圖所示，邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在邊CD和DA上移動(dòng)（包含端點(diǎn)A，C，D），P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，

向量 （m，n為實(shí)數(shù)），

=（0，4），＝（ 4，0），可得 ＝（ 4m，4n）．

當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，如圖：P.

此時(shí)m+n取得最大值：4m+4n＝8+ ，可得m+n＝2+ ．

當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)C時(shí)，BP與⊙C相切且點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，＝（4+cosθ，sinθ），

此時(shí)，4m+4n＝4﹣ sin（θ+ ），

m+n取得最小值為：1﹣，此時(shí)P（ 4﹣ ，﹣）．

同理可得，當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)A時(shí)，BP與⊙A相切且點(diǎn)P在y軸的左方時(shí)，

m+n取得最小值為：1﹣，此時(shí)P（-，4﹣）．

∴則m+n的取值范圍為

故答案為.