Question

5．已知橢圓C的焦點在y軸上，短軸長為2，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過點（0，1），交橢圓C于A，B兩點，且OA⊥OB，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．由題意得直線l得斜率必存在，設(shè)為k，且直線必與橢圓有兩個交點，直線l的方程為y=kx+1，與題意方程聯(lián)立，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，及其根與系數(shù)的共線即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：
$\begin{array}{l}∵b=1，e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\∴a=2，c=\sqrt{3}\end{array}$，
橢圓C的方程是$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由題意得直線l得斜率必存在，設(shè)為K，且直線必與橢圓有兩個交點．
∴直線l的方程為y=kx+1，
$\begin{array}{l}聯(lián)立\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{y^2}{4}+{x^2}=1}\end{array}}\right.\\ 得（{k^2}+4）{x^2}+2kx-3=0\\∴\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}}\\{{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}}\end{array}}\right.\end{array}$
$\begin{array}{l}∵OA⊥OB\\∴{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0\\∴（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=0\\ 解得k=±\frac{1}{2}\end{array}$
∴直線的方程為x-2y+2=0或x+2y-2=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．