設x＞0，求證：sinx+cosx＞1+x－x2.

證明：設f（x）=sinx+cosx－1－x+x2，

則f′（x）=cosx－sinx－1+2x，

只要證f′（x）＞0.

設g（x）=cosx－sin x－1+2x，

g′（x）=－sinx－cosx+2=（1－sinx）+（1－cosx）.

∵sinx=1時cosx=0，cosx=1時sinx=0，

∴1－sinx與1－cosx不能同時為0.

∴g′（x）＞0.

∴g（x）當x＞0時是增函數(shù).又g（x）在R上是連續(xù)函數(shù)且g（0）=0，

∴g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0.

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0.

∴x＞0時，sinx+cosx＞1+x－x2.

點評：證明f′（x）＞0又引進函數(shù)g（x），這也是通過分析得到的證明思路.

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已知函數(shù)f（x）=exlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設x＞0，求證：f（x+1）＞e2x-1；
（3）設n∈N*，求證：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．

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3x+1
＜
2(x+1)
3x+4
．

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（3）設n∈N*，求證：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．

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