Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接C₁B，設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，由四棱柱側(cè)面為平行四邊形知E是BC₁的中點(diǎn)，由此能夠證明AC₁∥平面CDB₁．
（2）由直棱柱知C₁C垂直平面ABC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，連接C₁F則C₁F⊥AB，則∠C₁FC為二面角C₁-AB-C的平面角．由此能求出二面角C₁-AB-C的正切值．

解答：證明：（1）連接C₁B，設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，
連接DE，由四棱柱側(cè)面為平行四邊形知
E是BC₁的中點(diǎn)，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC₁，…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．…（6分）
（2）由直棱柱知C₁C垂直平面ABC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，連接C₁F則C₁F⊥AB
∴∠C₁FC為二面角C₁-AB-C的平面角．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵底面三邊長(zhǎng)AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，CF=

AC•BC

AB

=

12

5

，
又CC₁=AA₁=4，∴tan∠C1FC=

C1C

CF

=

4

12 5

=

5

3

，
∴二面角C₁-AB-C的正切值為

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．