Question

9．廈門(mén)日?qǐng)?bào)訊，2016年5月1日上午，廈門(mén)海洋綜合行政執(zhí)法支隊(duì)在公務(wù)碼頭啟動(dòng)了2016年休漁監(jiān)管執(zhí)法的首日行動(dòng)，這標(biāo)志著廈門(mén)海域正式步入為期4個(gè)半月的休漁期．某小微企業(yè)決定囤積一些冰鮮產(chǎn)品，銷售所囤積魚(yú)品的凈利潤(rùn)y萬(wàn)元與投入x萬(wàn)元之間近似滿足函數(shù)關(guān)系：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（2ln2）•x，0＜x＜2}\\{alnx-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{9}{2}x，2≤x≤15}\end{array}\right.$
若投入2萬(wàn)元，可得到凈利潤(rùn)為5.2萬(wàn)元．
（1）試求該小微企業(yè)投入多少萬(wàn)元時(shí)，獲得的凈利潤(rùn)最大；
（2）請(qǐng)判斷該小微企業(yè)是否會(huì)虧本，若虧本，求出投入資金的范圍；若不虧本，請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln15=2.7）

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（2）=5.2，解得a=-4，討論2≤x≤15時(shí)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值；由0＜x＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)性可得f（x）的最大值；
（2）討論0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0的x的范圍，由f（x）在[2，15]的端點(diǎn)的函數(shù)值，可得f（x）＞0，即可判斷企業(yè)虧本的x的范圍．

解答 解：（1）由題意可知，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=5.2，
即有aln2-$\frac{1}{4}$×2²+$\frac{9}{2}$×2=5.2，解得a=-4．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（2ln2）x，0＜x＜2}\\{-4lnx-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{9}{2}x，2≤x≤15}\end{array}\right.$．
當(dāng)2≤x≤15時(shí)，f（x）=-4lnx-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{2}$x，
f′（x）=-$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$=-$\frac{（x-1）（x-8）}{2x}$，
當(dāng)2＜x＜8時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)8＜x＜15時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
當(dāng)2≤x≤15時(shí)，f（x）_max=f（8）=-4ln8-16+36=11.6．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜2×4-（2ln2）×2=5.2．
故該小微企業(yè)投入8萬(wàn)元時(shí)，獲得的凈利潤(rùn)最大；
（2）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，2x²-（2ln2）x＜0，
解得0＜x＜ln2，該企業(yè)虧本；
當(dāng)2≤x≤15時(shí)，f（2）=5.2，f（15）=-4ln15-$\frac{1}{4}$×15²+$\frac{9}{2}$×15=0.45＞0，
則f（x）_min=f（15）=0.45＞0，
綜上可得，0＜x＜ln2，即0＜x＜0.7時(shí)，該企業(yè)虧本．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用：求最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．