已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋．

答案：
解析：

　　證法一：(綜合法)∵a＞0，b＞0，則＋≥2＝2，

　　同理：＋≥2，以上兩式相加得＋＋＋≥2＋2，

　　∴＋≥＋．

　　證法二：(比較法：作差比較法)

　　(＋)－(＋)＝＝＝．

　　由a＞0，b＞0，有＋＞0，·＞0，(－)2≥0，

　　故(＋)－(＋)≥0．∴＋≥＋．

　　證法三：(分析法)∵a＞0，b＞0，故·＞0．

　　欲證＋≥＋，

　　只要證a＋b≥a＋b，

　　只要證(a＋b)2≥(a＋b)2，

　　即證a3＋b3＋2ab≥a2b＋b2a＋2ab，

　　只要證a3＋b3≥a2b＋b2a，

　　只要證a2(a－b)＋b2(b－a)≥0，

　　只要證(a－b)2(a＋b)≥0．

　　∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥0，(a－b)2≥0，

　　∴(a－b)2(a＋b)≥0成立，∴＋≥＋．

　　分析：由題中已知條件a，b∈R+與求證式的結(jié)構(gòu)特點，可采用不等式證明的三種基本方法．


提示：

評注：對不等式觀察分析的角度不同，選用的證法就不同，變形的方向就存在差異，呈現(xiàn)多姿多彩的美境，但又都殊途同歸．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數(shù)）是否有公共點，并證明你的結(jié)論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：松江區(qū)二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案