Question

19．已知函數(shù)f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=log4（2x+3-x2），先求出其定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），則t=2x+3-x²=-（x-1）²+4，由此能求出函數(shù)f（x）的值域

解答 解：（1）由f（x）=log4（2x+3-x2），
得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
設(shè)t=2x+3-x²，
∵t=2x+3-x²在（-1，1]上單調(diào)增，在[1，3）上單調(diào)減，
而y=log₄t在R上單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1]，減區(qū)間為[1，3）．
（2）令t=2x+3-x²，x∈（0，$\frac{3}{2}$]，
則t=2x+3-x²=-（x-1）²+4∈（log₄3，1]，
∴f（x）∈（log₄3，1]

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意換元法和配方法的合理運(yùn)用