Question

2．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)�圓O的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：
①對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個；
②函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
③余弦函數(shù)y=f（x）可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形．
其中正確的命題是①②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 利用新定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可．

解答 解：①對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個，注意函數(shù)是奇函數(shù)，即可得到結(jié)果．①是“優(yōu)美函數(shù)”．
②函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
因為函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）是奇函數(shù)，滿足優(yōu)美函數(shù)的定義，所以②滿足題意；
③余弦函數(shù)y=f（x）=cosx是偶函數(shù)，不可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；所以③不正確．
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，它的圖象是中心對稱圖形．所以④滿足題意．
故答案為：①②④．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，命題真假的判斷，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．