Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{3}{2}$x²+x，a∈R．
（ 1）若曲線y=f（x）在x=x₀處的切線方程為y=x-2，求a的值；
（2）若f′（x）是f（x）的導函數(shù)，且不等式f′（x）≥xlnx恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于x₀，a的方程組，解出即可；
（2）分離參數(shù)，得到a≥$\frac{3}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，令t=$\frac{1}{x}$，得到g（t）=3t-t²-tlnt，t＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（t）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{3}{2}$x²+x，
f′（x）=ax²-3x+1，
結合已知得：$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=\frac{1}{3}{{ax}_{0}}^{3}-{{\frac{3}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}{=x}_{0}-2①}\\{f′{（x}_{0}）={{ax}_{0}}^{2}-{3x}_{0}+1=1②}\end{array}\right.$，
由②得：ax₀=3或x₀=0（不滿足①，舍去），
把ax₀=3代入①，得：x₀=±2，從而a=±$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）≥xlnx，即為ax²-3x+1≥xlnx，x＞0，
得a≥$\frac{3}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，令t=$\frac{1}{x}$，g（t）=3t-t²-tlnt，t＞0，
則g′（t）=2-2t-lnt，
由于g′（t）在（0，+∞）遞減且g′（1）=0，
∴g′（t）在（0，+∞）上有唯一零點t=1，
從而g（t）在t=1處取得最大值，且最大值g（1）=2，
因此要a≥g（t）使對任意的t＞0恒成立，需且只需a≥2，
綜上，f′（x）≥xlnx對任意的正數(shù)x恒成立時，a≥2．

點評 本題考查了切線方程，函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．