已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)經(jīng)過 點B(0，
3
)，且離心率為
1
2
，右頂點為A，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2；橢圓C2以坐標原點為中心，且以F1F2為短軸端，上頂點為D．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C1與C2交于M、N、P、Q四點，當AD∥F2B時，求四邊形MNPQ的面積．
分析：（Ⅰ）利用橢圓經(jīng)過點B(0，
3
)，且離心率為
1
2
，建立方程，求得幾何量，從而可得橢圓C1的方程；
（Ⅱ）C2的短軸長為2，設方程為
y2
m2
+x2=1（m＞1），利用AD∥F2B，可得C2的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)對稱性，可得四邊形MNPQ的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓經(jīng)過點B(0，
3
)，且離心率為
1
2
，∴e=
c
a
=
1
2
，b=
3

∴a=2，∴橢圓C1的方程為
x
2
 
4
+
y
2
 
3
=1；
（Ⅱ）C2的短軸長為2，設方程為
y2
m2
+x2=1（m＞1）
∴D（0，m），A）2，0），F(xiàn)2（1，0）
∵AD∥F2B，∴m=2
3

∴C2的方程為
y2
12
+x2=1
設N（x1，y1），則
y12
12
+x12=1
x1
2
 
4
+
y1
2
 
3
=1
，解得
x12=
4
5
y12=
12
5
，∴|x1y1|=
4
3
5

∴根據(jù)對稱性，可得四邊形MNPQ的面積為
16
3
5
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查面積的計算，考查學生的計算能力，確定橢圓的方程是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點在y軸上，且離心率為
3
2
．過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標原點），當|
PA
|-|
PB
|＜
3
時，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C經(jīng)過點A(1， 
3
2
)，且經(jīng)過雙曲線y2-x2=1的頂點．P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
（3）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），長半軸長為
2
．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結論“過圓
x
2
 
+
y
2
 
=r2上任一點（x0，y0）的切線方程是x0x+yy0=
r
2
 
”，歸納得出：過橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)上任一點（x0，y0）的切線方程是
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
；
（2）設M，N是直線x=2上的兩個點，若
F1M
•
F2M
=0，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓c的左右焦點，點P在橢圓C上（不是頂點），△PF1F2內一點G滿足3
PG
=
PF1
+
PF2
，其中
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長為2
3
，過焦點F2的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），若
AF2
=2
F2B
，求△F1AB面積．

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