Question

設函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x+5（a＞0）．
（1）已知f（x）在R上是單調函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若a=2，且當x∈[1，2]時，f（x）≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-ax+3，判別式△=a²-36=（a-6）（a+6）．
∵f（x）在R上是單調函數(shù)，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0
∵f′（x）=3x²-ax+3開口向上，∴f′（x）≥0
∴△≤0，解得-6≤a≤6
又∵a＞0，∴0＜a≤6，
即0＜a≤6時，f（x）在R上單調遞增；
（2）a=2，f′（x）=3x²-2x+3＞0恒成立，∴f（x）在R上單調遞增
∴f（x）在[1，2]上單調遞增
∴f（x）_max=f（2）=15
∵當x∈[1，2]時，f（x）≤m恒成立，
∴m≥15
∴實數(shù)m的取值范圍是[15，+∞）．
分析：（1）f′（x）=3x²-ax+3，f（x）在R上是單調函數(shù)，則f′（x）≥0或f′（x）≤0，從而可得當0＜a≤6時，判別式△=a²-36=（a-6）（a+6）≤0對x∈R恒成立；
（2）a=2，f（x）在[1，2]上單調遞增，求出函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．