Question

9．已知-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜$\frac{π}{2}$，且tanα、tanβ是方程x²+6x+7=0的兩個(gè)根，則α+β=-$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積，即可得到tanα+tanβ及tanα•tanβ的值，然后利用兩角和的正切函數(shù)公式表示出tan（α+β），把tanα+tanβ及tanα•tanβ的值代入即可求出tan（α+β）的值，由α和β的范圍，求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+β的度數(shù)．

解答 （本題滿分為14分）
解：∵tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7，…（4分）
∵tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-6}{1-7}$=1，…（8分）
∴tanα＜0，tanβ＜0，
∴-$\frac{π}{2}$＜α＜0，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，…（12分）
∴-π＜α+β＜0，
∴α+β=-$\frac{3π}{4}$．
故答案為：-$\frac{3π}{4}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握公式及關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)在解題時(shí)注意角度的范圍，屬于基礎(chǔ)題．