Question

【題目】在平面直角坐標系中，過點的直線與拋物線相交于點，兩點，設，

（1）求證：為定值

（2）是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理即可求解；（2）假設存在符合題意的直線，設出直線方程，利用圓的性質(zhì)求解是否符合題意即可.

試題解析：（1）當直線垂直于軸時，，，因此(定值)，

當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，由得，

∴，因此有為定值；（2）設存在直線：滿足條件，則的中點，，因此以為直徑的圓的半徑，

點到直線的距離，∴所截弦長為

，當即時，弦長為定值2，這時直線方程為.

【思路點睛】求解定值問題的方法一般有兩種：1.從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關；2.直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.