3.已知復數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位).
(1)設(shè)ω=z2+3$\overline{z}$-4,求|ω|;
(2)若$\frac{a-{i}^{3}}{z}$=2-i,求實數(shù)a的值.

分析 (1)由復數(shù)z=1+i,得$\overline{z}=1-i$,把z和$\overline{z}$代入ω=z2+3$\overline{z}$-4化簡再由復數(shù)求模公式計算得答案;
(2)直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再根據(jù)復數(shù)相等的充要條件列方程組,求解即可得答案.

解答 解:(1)由復數(shù)z=1+i,得$\overline{z}=1-i$.
則ω=z2+3$\overline{z}$-4=(1+i)2+3(1-i)-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i,
故|ω|=$\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$;
(2)$\frac{a-{i}^{3}}{z}$=$\frac{a+i}{1+i}$=$\frac{(a+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{a-ai+i+1}{2}$=$\frac{a+1}{2}-\frac{a-1}{2}i$=2-i,
由復數(shù)相等的充要條件得:
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}=2}\\{-\frac{a-1}{2}=-1}\end{array}\right.$,解得a=3.

點評 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)模的求法以及復數(shù)相等的充要條件,是基礎(chǔ)題.

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