Question

3．已知復數(shù)z=1+i（i為虛數(shù)單位）．
（1）設(shè)ω=z²+3$\overline{z}$-4，求|ω|；
（2）若$\frac{a-{i}^{3}}{z}$=2-i，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由復數(shù)z=1+i，得$\overline{z}=1-i$，把z和$\overline{z}$代入ω=z²+3$\overline{z}$-4化簡再由復數(shù)求模公式計算得答案；
（2）直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再根據(jù)復數(shù)相等的充要條件列方程組，求解即可得答案．

解答 解：（1）由復數(shù)z=1+i，得$\overline{z}=1-i$．
則ω=z²+3$\overline{z}$-4=（1+i）²+3（1-i）-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i，
故|ω|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{2}$；
（2）$\frac{a-{i}^{3}}{z}$=$\frac{a+i}{1+i}$=$\frac{（a+i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{a-ai+i+1}{2}$=$\frac{a+1}{2}-\frac{a-1}{2}i$=2-i，
由復數(shù)相等的充要條件得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}=2}\\{-\frac{a-1}{2}=-1}\end{array}\right.$，解得a=3．

點評 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法以及復數(shù)相等的充要條件，是基礎(chǔ)題．