Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=0．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則有-x₁＞-x₂＞0，然后根據(jù)奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，建立不等關(guān)系，化簡即可得到f（x₁）＜f（x₂），從而得到函數(shù)的單調(diào)性．
（2）分類討論解不等式，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則有-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）是（-∞，0）上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）解：x＞0時(shí)，f（x）＜f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1；
x＜0時(shí)，f（x）＜f（-1），∴x＜-1，∴x＜-1，
∴不等式f（x）＜0的解集為{x|0＜x＜1或x＜-1}．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．