Question

已知函數f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）．
（Ⅰ）試判斷函數f（x）在（0，+∞）上單調性并證明你的結論；
（Ⅱ）若f（x）＞

k

x+1

?x∈（0，+∞）恒成立，求正整數k的最大值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的單調性及單調區(qū)間

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數的符號即可作出判斷；
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，化為h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．求導h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），利用導數可判斷g（x）的單調性及g（x）的零點所在區(qū)間，進而可得h（x）的最小值，得到k的范圍，由此可求最小正整數k．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上是減函數．證明如下：
f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=-

1

x2

[

1

x+1

+ln（x+1）]，
∵x＞0，∴x²＞0，

1

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（Ⅱ）f（x）＞

k

x+1

恒成立，即h（x）=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．
h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

，記g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
則g′（x）=

x

x+1

＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（2，3），g（a）=0，即a=1+ln（a+1），
當x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，當0＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈（3，4），
∴k＜a+1，
故正整數k的最大值為3．

點評：該題考查利用導數研究函數的單調性、最值及函數恒成立問題，考查轉化思想，考查學生靈活運用知識分析解決問題的能力．