22.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足下列條件：對任意的實(shí)數(shù)x1、x2，都有

λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］

和

|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|,

其中λ是大于0的常數(shù).

設(shè)實(shí)數(shù)a0、a、b滿足f(a0)=0和b=a－λf(a).

(Ⅰ)證明：λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0;

(Ⅱ)證明：(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2;

(Ⅲ)證明：［f(b)］2≤(1－λ2)［f(a)］2.

22.本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

    證明: (Ⅰ)任取x1、x2∈R,x1≠x2,則由

λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］                          ①

和

|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|                                              ②

可知

λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］=|x1－x2|·|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|2,從而　λ≤1.

假設(shè)有b0≠a0,使得f(b0)=0成立,則由①知

0＜λ(a0－b0)2≤(a0－b0)［f(a0)－f(b0)］=0，矛盾.

∴不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.

(Ⅱ)由            b=a－λf(a).                                            ③

可知

(b－a0)2=［a－a0－λf(a)］2

=(a－a0)2－2λ(a－a0)f(a)+λ2［f(a)］2.                        ④

由f(a0)=0和①式，得

(a－a0)f(a)=(a－a0)［f(a)－f(a0)］≥λ(a－a0)2              ⑤

由f(a0)=0和②式知，

［f(a)］2＝［f(a)－f(a0)］2≤(a－a0)2.                          ⑥

則將⑤、⑥式代入④式，得

(b－a0)2≤(a－a0)2－2λ2 (a－a0)2+λ2·(a－a0)2

=(1－λ2)(a－a0)2.

(Ⅲ)由③式，可知

［f(b)］2=［f(b)－f(a)+f(a)］2

=［f(b)－f(a)］2+2f(a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］2           

≤(b－a)2－2·［f(b)－f(a)］+［f(a)］2                        （用②式）

=λ2［f(a)］2－ (b－a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］2

≤λ2［f(a)］2－·λ·(b－a)2+［f(a)］2                            （用①式）

=λ2［f(a)］2－2λ2［f(a)］2+［f(a)］2

=(1－λ2)·［f(a)］2.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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