Question

13．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x），滿足f（x）+g（x）=2^x．
（Ⅰ）求f（x），g（x）；
（Ⅱ）求證g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）+g（2x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，解出奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的方法求證g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）利用換元法求函數(shù)g（x）+g（2x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，g（x）為定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，結(jié)合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）；
（Ⅱ）證明：g′（x）=$\frac{1}{2}$•ln2•（2^x-2^-x）＞0，∴g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）g（x）+g（2x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x），
設(shè)2^x+2^-x=t（t≥2），y=$\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}（{t}^{2}-2）$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴t=2時(shí)，函數(shù)g（x）+g（2x）的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查了函數(shù)求表達(dá)式以及函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì)，再結(jié)合換元法是解決本題的關(guān)鍵．