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11.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).|x-a|≥f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是y=(e-1)x-1,求實數(shù)a及b的值;
(2)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.

分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組計算a,b;
(2)對a進(jìn)行討論,判斷g′(x)=0在[0,1]上是否有解,得出g(x)的單調(diào)性,再得出g(x)的最小值.

解答 解:(1)f′(x)=ex-2ax-b,
∵f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是y=(e-1)x-1,
{f1=e2f1=e1,即{eab1=e2e2ab=e1,
解得{a=0b=1
(2)g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,g′(x)=ex-2a,
①當(dāng)2a≤0即a≤0時,g′(x)>0,
∴g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴gmin(x)=g(0)=1-b;
②當(dāng)2a>0即a>0時,令g′(x)=0得x=ln2a.
(i)若ln2a≤0,即0a12時,則當(dāng)x∈[0,1]時,ex≥1≥2a,
∴g′(x)≥0在(0,1)上恒成立,
∴g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴gmin(x)=g(0)=1-b;
(ii)若ln2a≥1,即a≥e2時,則當(dāng)x∈[0,1]時,2a≥e≥ex,
∴g′(x)≤0在(0,1)上恒成立,
∴g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴gmin(x)=g(1)=1-2a-b;
(iii)若0<ln2a<1,即12ae2時,
當(dāng)0<x<ln2a時,g′(x)<0,當(dāng)ln2a<x<1時,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減,在(ln2a,1)上單調(diào)遞增,
∴gmin(x)=g(ln2a)=2a-2aln2a-b.
綜上,當(dāng)a≤12時,gmin(x)=1-b;
當(dāng)12ae2時,gmin(x)=2a-2aln2a-b;
當(dāng)a≥e2時,gmin(x)=1-2a-b.

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,函數(shù)最值計算,分類討論思想,屬于中檔題.

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