Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．|x-a|≥f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=（e-1）x-1，求實數(shù)a及b的值；
（2）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組計算a，b；
（2）對a進(jìn)行討論，判斷g′（x）=0在[0，1]上是否有解，得出g（x）的單調(diào)性，再得出g（x）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax-b，
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=（e-1）x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=e-2}\\{f′（1）=e-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{e-a-b-1=e-2}\\{e-2a-b=e-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，g′（x）=e^x-2a，
①當(dāng)2a≤0即a≤0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（0）=1-b；
②當(dāng)2a＞0即a＞0時，令g′（x）=0得x=ln2a．
（i）若ln2a≤0，即0$＜a≤\frac{1}{2}$時，則當(dāng)x∈[0，1]時，e^x≥1≥2a，
∴g′（x）≥0在（0，1）上恒成立，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（0）=1-b；
（ii）若ln2a≥1，即a≥$\frac{e}{2}$時，則當(dāng)x∈[0，1]時，2a≥e≥e^x，
∴g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴g_min（x）=g（1）=1-2a-b；
（iii）若0＜ln2a＜1，即$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$時，
當(dāng)0＜x＜ln2a時，g′（x）＜0，當(dāng)ln2a＜x＜1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，在（ln2a，1）上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（ln2a）=2a-2aln2a-b．
綜上，當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g_min（x）=1-b；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$時，g_min（x）=2a-2aln2a-b；
當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時，g_min（x）=1-2a-b．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)最值計算，分類討論思想，屬于中檔題．