已知函數(shù)f(x)=lg
2x
ax+b
，且f（1）=0，當x＞0時，恒有f(x)-f(
1
x
)=lgx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）正確運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡轉化是解決本題的關鍵．通過代數(shù)式恒等列出關于a，b的方程進而確定出函數(shù)的解析式；
（2）將方程進行等價轉化是解決本小題的關鍵．利用一元二次方程的知識以及函數(shù)的定義域確定出關于實數(shù)m的不等式組．
解答：解：（1）、∵f（1）=0，∴
2
a+b
=1①．
∵當x＞0時，恒有f(x)-f(
1
x
)=lgx．
∴lg
2x
ax+b
-lg
2
x
a
x
+b
=lgx，即lg
2x
ax+b
-lg
2
a+bx
=lgx，所以lg(
2x
ax+b
•
a+bx
2
)=lg
x(a+bx)
ax+b
=lgx，
所以得到
ax+bx2
ax+b
=x，即
a+bx
ax+b
=1，所以a+bx=ax+b，整理得（a-b）（x-1）=0，根據(jù)多項式恒等得出a=b，根據(jù)①解出a=b=1，從而函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=lg
2x
x+1
．
（2）方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集?lg
2x
x+1
=lg(m+x)的解集是空集
?
2x
x+1
＞0
m+x＞0
2x
x+1
=m+x
的解集為空集，即
x＞0或x＜-1
x＞-m
x2+(m-1)x+m=0
的解集為空．
可以對m的取值進行討論：令g（x）=x2+（m-1）x+m
①當m＞0時，g（0）=m＞0，g（-1）=2＞0，可以判斷出上不等式組無解，故合題意；
②當m=0時，由于x2-x=0得出x=0或x=1，可知x=1適合原方程，故m=0不合題意；
③當m＜0時，g（-m）=2m＜0，可以確定原方程在定義域中有解，故不合題意．
綜上，使得方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，實數(shù)m的取值范圍是（0，+∞）．
點評：本小題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)的運算等知識點，考查了對數(shù)問題的隱含條件----定義域的認識和理解，考查了二次方程根的有無問題，利用數(shù)形結合思想可以實現(xiàn)正確轉化與求解．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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