Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)（-4，0）是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

10

3

，

2

3

），則橢圓C的方程為（　�。�

• A、

  x2

  36

  +

  y2

  20

  =1
• B、

  x2

  25

  +

  y2

  9

  =1
• C、

  x2

  24

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  20

  +

  y2

  4

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法結(jié)合已知條件能求出橢圓方程．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，得：

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
兩式相減，得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
∵AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

10

3

，

2

3

），
∴x1+x2=-

20

3

，y1+y2=

4

3

，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

2 3 -0

- 10 3 +4

=1，
∴

- 20 3

a2

=-

4 3

b2

，∴a²=5b²，①
又a²-b²=16，②
由①②聯(lián)立，得a²=20，b²=4，
∴橢圓方程為：

x2

20

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．