Question

19．已知函數(shù)f（x）=x-alnx-$\frac{x}-2（{a，b∈{R}}）$．
（Ⅰ）當a-b=1，a＞1時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當b=-1，a≤4時，不等式f（x）＜-$\frac{3}{x}$在區(qū)間[2，4]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$x-alnx+\frac{4}{x}-2＜0$，令$g（x）=x-alnx+\frac{4}{x}-2$，求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題知x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=1-\frac{a}{x}+\frac{x^2}$，且由a-b=1得b=a-1，
∴$f'（x）=1-\frac{a}{x}+\frac{x^2}=\frac{{{x^2}-ax+a-1}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-a+1}）}}{x^2}$，
當a-1=1即a=2時，$f'（x）=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≥0$，
知函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當a-1＞1即a＞2時，知x∈（0，1）和x∈（a-1，+∞）時f'（x）＞0，
當x∈（1，a-1）時，f'（x）＜0
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，a-1）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a-1，1）；
綜上所述，當a=2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，a-1）；
當1＜a＜2時，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，a-1）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a-1，1）
（Ⅱ）當b=-1時$f（x）=x-alnx+\frac{1}{x}-2$，由$f（x）＜-\frac{3}{x}$得$x-alnx+\frac{4}{x}-2＜0$，
令$g（x）=x-alnx+\frac{4}{x}-2$，則$g'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}=\frac{{{x^2}-ax-4}}{x^2}$
設(shè)$t={x^2}-ax-4={（{x-\frac{a}{2}}）^2}-4-\frac{a^2}{4}$，由a≤4知對稱軸$x=\frac{a}{2}≤2$，
故t=x²-ax-4在[2，4]上單調(diào)遞增，
所以當x=2時，t_min=-2a，當x=4時，t_max=12-4a，
①當12-4a≤0，即3≤a≤4時，g'（x）≤0，知g（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，
得$a＞\frac{2}{ln2}$，故3≤a≤4．
②當-2a≥0，即a≤0時，g'（x）≥0，知g（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，
g（x）_max=g（4）=3-aln4＜0，得$a＞\frac{3}{ln4}$，故此時無解．
③當-2a＜0＜12-4a，即0＜a＜3時，
g'（x）=0在（2，4）上有唯一一個實數(shù)解x₀，
且g（x）在x∈（2，x₀）上單調(diào)遞減，在x∈（x₀，4）上單調(diào)遞增，
要使g（x）＜0恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}g（2）＜0\\ g（4）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{2}{ln2}\\ a＞\frac{3}{ln4}\end{array}\right.$，得$a＞\frac{2}{ln2}$，故$\frac{2}{ln2}＜a＜3$．
綜上①②③知$\frac{2}{ln2}＜a≤4$，
所以實數(shù)a的取值范圍為$（{\frac{2}{ln2}，4}]$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．