Question

已知函數(shù)f（x）=9^x-3^x+1+c（其中c是常數(shù)）．
（1）若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，恒有f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元法化為當(dāng)t∈[1，3]時(shí)，g（t）=t²-3•t+c＜0恒成立，再化恒成立問題為最值問題；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0，則存在t∈[1，3]，使g（t）=t²-3•t+c＜0．從而化為最值問題；
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)解，則方程t²-（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一實(shí)數(shù)解．從而由單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理判斷．

解答： 解：（1）f（x）=9^x-3^x+1+c=（3^x）²-3•3^x+c，
令3^x=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t∈[1，3]．
問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)t∈[1，3]時(shí)，g（t）=t²-3•t+c＜0恒成立．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，
即9-9+c＜0，
解得c＜0．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，0）；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0，
則存在t∈[1，3]，使g（t）=t²-3•t+c＜0．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值g（

3

2

）=（

3

2

）²-3•

3

2

+c＜0，解得c＜

9

4

；
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，

9

4

）；                             
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)解，
則方程t²-（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一實(shí)數(shù)解．
因△=（3+c）²-4c＞0，
故t²-（3+c）t+c=0在[1，3]上不可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解．
令h（t）=t²-（3+c）t+c．
因h（1）=-2＜0，故只需h（3）=-2c≥0，
解得c≤0．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題及存在性問題，屬于中檔題．