Question

4．已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差也為q，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ι）求q的值；
（II）若數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為2，其前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n≥2時(shí)，試比較b_n與T_n的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關(guān)于公比的方程，求解方程即可得到q值；
（Ⅱ）分別求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，分類作出比較得答案．

解答 解：（Ι）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²．
∵{a_n}是等比數(shù)列，∴a₁≠0，
則3q²-2q-1=0．
解得：q=1或q=$-\frac{1}{3}$．
∵q≠1，
∴q=$-\frac{1}{3}$；
（II）由（Ι）知等差數(shù)列{b_n}的公差為$-\frac{1}{3}$，
∴$_{n}=2+（n-1）（-\frac{1}{3}）=\frac{7-n}{3}$，
${T}_{n}=2n+\frac{n}{2}（n-1）（-\frac{1}{3}）=\frac{13n-{n}^{2}}{6}$，
${T}_{n}-_{n}=-\frac{（n-1）（n-14）}{6}$，
當(dāng)n＞14時(shí)，${T}_{n＜_{n}}$；
當(dāng)n=14時(shí)，T_n=b_n；
當(dāng)2≤n＜14時(shí)，T_n＞b_n．
綜上，當(dāng)2≤n＜14時(shí)，T_n＞b_n；
當(dāng)n=14時(shí)，T_n=b_n；
當(dāng)n＞14時(shí)，T_n＜b_n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了作差法兩個(gè)函數(shù)值的大小，是中檔題．