Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“0-1數(shù)列”．定義變換，將“0-1數(shù)列”中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．例如:1,0,1，則設(shè)是“0-1數(shù)列”，令

3，…．

（Ⅰ） 若數(shù)列：求數(shù)列；

（Ⅱ） 若數(shù)列共有10項(xiàng)，則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為，．求關(guān)于的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；；

(Ⅱ) 10對(duì) ；見(jiàn)詳解；

(Ⅲ)

【解析】

試題（Ⅰ）由變換的定義“將“數(shù)列”中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．”直接可得數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有10對(duì)，對(duì)于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”，中每一個(gè)1在中對(duì)應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1，0，0，1，在中每一個(gè)0在中對(duì)應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0，1，1，0，因此，共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”中的每一個(gè)項(xiàng)在中都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)； （Ⅲ）設(shè)中有個(gè)01數(shù)對(duì)，中的00數(shù)對(duì)只能由中的數(shù)對(duì)得到，所以，中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由中的1得到； ②由中00得到，討論的奇偶可求出所求．

試題解析：解：（Ⅰ）由變換的定義可得

（Ⅱ） 數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有10對(duì)

證明：對(duì)于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”，中每一個(gè)1在中對(duì)應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1,0,0,1，在中每一個(gè)0在中對(duì)應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0,1,1,0，

因此，共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”中的每一個(gè)項(xiàng)在中都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)，

所以中至少有10對(duì)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)．

（Ⅲ） 設(shè)中有個(gè)01數(shù)對(duì)，

中的00數(shù)對(duì)只能由中的01數(shù)對(duì)得到，所以，

中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由中的1得到； ②由中00得到，

由變換的定義及可得中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有個(gè)，

所以，

所以，

由可得，

所以，

當(dāng)時(shí)，

若為偶數(shù)，

上述各式相加可得，

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，也滿足

若為奇數(shù)，

上述各式相加可得，

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，也滿足

所以