Question

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，橢圓C：x2+

y2

m

=1  (0＜m＜1)的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

9

5

，

4 3

5

)，求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知M是線段AP的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到m值；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 

x

2 0

+

y 2 0

m

=1，①由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用M坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，由OP⊥OM得

OP

•

OM

=0②，聯(lián)立 ①②消去y₀，分離出m用基本不等式即可求得m的范圍；

解答：解：（Ⅰ）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，

因?yàn)锳（-1，0），P(

9

5

，

4 3

5

)，
所以 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

2

5

，

2 3

5

)．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，
所以 

4

25

+

12

25m

=1，解得 m=

4

7

．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 

x

2 0

+

y 2 0

m

=1，①
因?yàn)?nbsp;M是線段AP的中點(diǎn)，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因?yàn)?nbsp;OP⊥OM，所以

OP

⊥

OM

，
所以

OP

•

OM

=0，即 x0(2x0+1)+2y02=0．②
由 ①，②消去y₀，整理得 m=

2 x 2 0 +x0

2 x 2 0 -2

．
所以 m=1+

1

2(x0+2)+ 6 x0+2 -8

≤

1

2

-

3

4

，
當(dāng)且僅當(dāng) x0=-2+

3

時(shí)，上式等號(hào)成立．
所以m的取值范圍是(0，

1

2

-

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題，垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0是常用手段，要靈活運(yùn)用．