Question

16．已知函數(shù)f（x）=kx+log₉（9^x+1）（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)g（x）=log₉（a•3^x-$\frac{4}{3}$a）的圖象與f（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）和f（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論求解．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴由f（-x）=f（x）得-kx+log₉（9^-x+1）=kx+log₉（9^x+1），
整理得$k=-\frac{1}{2}$；
（2）由題意知，方程$-\frac{1}{2}x+{log_9}（{9^x}+1）={log_9}（a•{3^x}-\frac{4}{3}a）$只有一解，即$（a-1）{3^x}-{3^{-x}}-\frac{4a}{3}=0$有且只有一個(gè)實(shí)根，
令t=3^x，則t∈（0，+∞），
從而方程$（a-1）{t^2}-\frac{4a}{3}t-1=0$有且只有一個(gè)正實(shí)根t，
當(dāng)a-1=0時(shí)，$t=-\frac{3}{4}$（舍去），
當(dāng)a-1≠0時(shí)，若判別式△=0，即$\frac{16{a}^{2}}{9}$+4a-4=0，
即4a²+9a-9=0得a=-3或a=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí)，t＜0，不滿足條件．舍去，
若△＞0，則t₁t₂＜0，得$-\frac{1}{a-1}＜0$，則a＞1，
從而所求a的范圍是{-3}∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)圖象的應(yīng)用，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．