Question

14．已知函數(shù)f（x）的定義域是x≠0的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．求證：
（1）f（x）是偶函數(shù)；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（3）=1，試解不等式f（x）+f（x-8）≤2．

Answer 1

分析 （1）先計算f（1）=f（-1）=0，再得出f（-x）=f（x）+f（-1），得出結(jié)論；
（2）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個數(shù)，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）-f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，從而得出結(jié)論；
（3）計算f（9）=2，利用函數(shù)性質(zhì)得出f（x²-8x）≤f（9），再根據(jù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合定義域列出不等式組解出．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，得f（1）=f2（-1），∴f（-1）=0，
令x₁=-x，x₂=-1，則f（x）=f（-x）+f（-1）=f（-x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個數(shù)，且x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）-f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）．
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（3）=1，∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（x）+f（x-8）≤2，∴f（x²-8x）≤f（9），
又f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{x-8≠0}\\{-9≤{x}^{2}-8x≤9}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤4-$\sqrt{7}$或4+$\sqrt{7}$≤x≤9且x≠0，x≠8．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性，奇偶性的應(yīng)用，不等式的解法，屬于中檔題．