Question

直線y=kx+1與雙曲線C：x²-y²=1的左支只有一個公共點，則k的取值為（　�。�

• A、（-1，1]
• B、k=

  2

• C、[-1，1]
• D、（-1，1]∪{

  2

  }

Answer 1

考點：雙曲線的應用,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：把直線方程代入雙曲線方程，轉化為求一元二次方程恰有一負根，或方程有一正根，一負根的情況，然后分類討論，即可得出結論．

解答： 解：已知直線y=kx+1①與雙曲線C：x²-y²=1②的左支只有一個公共點，即可得到交點的橫坐標小于0．
把方程①代入②，整理得方程（1-k²）x²-2kx-2=0③恰有一負根，或方程有一正根，一負根．
恰有一負根：（1）當k=1時，方程③變?yōu)?2x-2=0，得x=-1，成立．
（2）當k=-1時，方程③變?yōu)?x-2=0，x=1，不成立舍去．
（3）當k≠-1或k≠1時△=4k²+8（1-k²）=0，k=±

2

，k=

2

時，x=-

2

符合；
一正根，一負根：-

2

1-k2

＜0，∴-1＜k＜1
綜上k∈（-1，1]∪{

2

）．
故選：D．

點評：本題考查直線與圓錐曲線交點的問題，題中涉及到求一元二次方程有一個根的求法，用到分類討論思想和求判別式的方法，有一定的技巧性，屬于中檔題目．