Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a²-c²=b（b-c）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x-A）+sinx-m，若函數(shù)f（x）在[0，π]上有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）化簡已知可得a²=c²+b²-bc，結(jié)合余弦定理可得cosA=

1

2

，又A為三角形內(nèi)角，從而可求得A．
（Ⅱ）化簡可得解析式：f（x）=

3

sin（x-

π

6

）-m，由x∈[0，π]，可得

3

sin（x-

π

6

）∈[-

3

2

，

3

]，由函數(shù)f（x）在[0，π]上有零點，即

3

sin（x-

π

6

）-m=0在[0，π]上有解．即可解得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²-c²=b（b-c），
∴a²=c²+b²-bc，
∵由余弦定理可得：a²=c²+b²-2bccosA，
∴可解得：cosA=

1

2

，
又∵A為三角形內(nèi)角，0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由題意可得：f（x）=sin（x-

π

3

）+sinx-m=

3

sin（x-

π

6

）-m，
∵x∈[0，π]，可得x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

3

sin（x-

π

6

）∈[-

3

2

，

3

]，
∵函數(shù)f（x）在[0，π]上有零點，即

3

sin（x-

π

6

）-m=0在[0，π]上有解．
∴可解得：-

3

2

≤m≤

3

．

點評：本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦公式，三角函數(shù)值域的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．