已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.

(1)若a>b>c且f(1)＝0，試證明f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)若對(duì)x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有兩個(gè)不等實(shí)根，證明必有一實(shí)根屬于(x1，x2).

【證明】(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.

又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.

又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，∴函數(shù)f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，則g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，

g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝.

∴g(x1)g(x2)＝[]·[]

＝－[f(x1)－f(x2)]2.

∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)<0.

∴g(x)＝0在(x1，x2)內(nèi)必有一實(shí)根.

即f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一實(shí)根屬于(x1，x2).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域?yàn)椋?1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時(shí)，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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