Question

已知l被l₁：3x+4y-7=0，l₂：3x+4y+8=0的截得的線段長為

15

4

，且l過點P（2，3），求l的方程．

Answer 1

分析：分直線l的斜率存在和不存在討論，斜率不存在時聯(lián)立直線l和給出的兩直線方程，求出交點，驗證是否符合條件；斜率存在時設(shè)出直線方程，和已知兩直線方程聯(lián)立，求出交點，由兩點間的距離公式求k的值，則直線l的方程可求．

解答：解：當直線l的斜率不存在時，直線方程為x=2，
聯(lián)立

x=2 3x+4y-7=0

，解得

x=2 y= 1 4

，
∴兩直線交點為(2，

1

4

)．
聯(lián)立

x=2 3x+4y+8=0

，解得

x=2 y=- 7 2

，
∴兩直線交點坐標為(2，-

7

2

)．
∴直線l被l₁：3x+4y-7=0，l₂：3x+4y+8=0的截得的線段長為

15

4

，符合題意；
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-3=k（x-2），
聯(lián)立

y-3=k(x-2) 3x+4y-7=0

，解得

x= 8k-5 4k+3 y= k+9 4k+3

，
∴兩條直線的交點坐標為(

8k-5

4k+3

，

k+9

4k+3

)．
聯(lián)立

y-3=k(x-2) 3x+4y+8=0

，解得

x= 8k-20 4k+3 y= -14k+9 4k+3

，
∴兩條直線的交點坐標為(

8k-20

4k+3

，

-14k+9

4k+3

)．
代入兩點間的距離公式得：(

8k-5

4k+3

-

8k-20

4k+3

)2+(

k+9

4k+3

-

-14k+9

4k+3

)2=(

15

4

)2，
解得：k=

7

24

．
∴直線l的方程為：y-3=

7

24

(x-2)，即7x-24y+58=0．
綜上，直線l的方程為：x=2或7x-24y+58=0．

點評：本題考查了兩條直線的交點坐標，考查了直線的點斜式方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是基礎(chǔ)的計算題．