Question

 

如圖，已知四棱錐中，側(cè)棱平面，底面是平行四邊形，，，，分別是的中點(diǎn)．

（1）求證： 平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：

（1）證明：∵平面，

∴的射影是，的射影是，

∵

∴

∴，且，

∴是直角三角形，且，……………………………3分

∴，

∵平面，

∴，

且，

∴平面…………………………………………………6分

（2）解法1：由（1）∵平面，

∴，又，

故在中，，

∴，，

從而又在中，，

∴在等腰三角形，分別取中點(diǎn)和中點(diǎn)，連接，和，

∴中位線，且平面，

∴平面，

在中，中線，由三垂線定理知，，

為二面角的平面角，

在中，，，

，，

∴二面角的大小為.

 

解法2：

由(Ⅰ)知， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、

所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，∵在中，，∴，

則，，，，

，，，

則，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

則由.

又是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的平面角為，則

，∴ ∴

∴二面角的大小為.…………………….…….……12分