Question

8．函數(shù)f（x）的定義域為D，若滿足①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[-2b，-2a]，那么y=f（x）叫做H函數(shù)，若函數(shù)f（x）=（3-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k是H函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)于函數(shù)f（x）=（3-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k是在（-∞，3]上是減函數(shù)，由②可得 f（a）=-2a，f（b）=-2b，a和b 是關(guān)于x的方程$\sqrt{3-x}$-k=-2x在（-∞，3]上有兩個不同實根．討論以確定實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=（3-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k是在（-∞，3]上是減函數(shù)，故滿足①，
又f（x）在[a，b]上的值域為[-2b，-2a]，
∴（3-a）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k=-2a，（3-b）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k=-2b
∴a和b 是關(guān)于x的方程$\sqrt{3-x}$-k=-2x在（-∞，3]上有兩個不同實根，
即方程4x²+（1-4k）x+k²-3=0（x≤3且x≤$\frac{k}{2}$）有兩個不相等的實根，
令g（x）=4x²+（1-4k）x+k²-3．
當$\frac{k}{2}$≥3時，有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（3）≥0}\\{-\frac{1-4k}{8}＜3}\end{array}\right.$，解得6≤k＜$\frac{49}{8}$，
當$\frac{k}{2}$＜3時，有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（\frac{k}{2}）≥0}\\{-\frac{1-4k}{8}＜\frac{k}{2}}\end{array}\right.$，無解，
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是[6，$\frac{49}{8}$）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，得到a和b 是$\sqrt{3-x}$-k=-2x在（-∞，3]上有兩個不同實根是解題的難點，屬中檔題．