【題目】橢圓（）的離心率等于，它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓有且只有一個公共點，且直線與直線和分別交于兩點，試探究以線段為直徑的圓是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點，若不恒過定點，請說明理由.

【答案】（1）；（2）以線段為直徑的圓恒過定點，且定點為

【解析】

（1）由離心率及拋物線的焦點是橢圓長軸的端點即的關系可得橢圓的標準方程；

（2）設，則由消去得關于的二次方程，根據(jù)判別式等于得，另外先求出點，，則可求出以線段為直徑的圓的方程，整理得，將代入即可求出定點.

解：（1）由題意設橢圓的方程為（），
因為拋物線的焦點坐標為，則，
由，得
∴橢圓的方程為；

（2）明顯直線的斜率存在，

設，

則由，消去得，

，

整理得，

又由，得，

由，得，

所以以線段為直徑的圓為，

整理得，

將代入得，

當時，，

所以以線段為直徑的圓恒過定點，且定點為.

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【題目】設函數(shù).

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A.B.C.D.2

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（1）數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

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【題目】某學校有30位高級教師，其中60%人愛好體育鍛煉，經(jīng)體檢調查，得到如下列聯(lián)表.

身體好

身體一般

總計

愛好體育鍛煉

2

不愛好體育鍛煉

4

總計

20

（1）根據(jù)以上信息完成列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“身體好與愛好體育鍛煉有關系”？

（2）現(xiàn)從身體一般的教師中抽取3人，記3人中愛好體育鍛煉的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

參考公式：，其中.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學高三年級利用課余時間組織學生開展小型知識競賽．比賽規(guī)則：每個參賽者回答A、B兩組題目，每組題目各有兩道題，每道題答對得1分，答錯得0分，兩組題目得分的和做為該選手的比賽成績．小明估計答對A組每道題的概率均為，答對B組每道題的概率均為．

（Ⅰ）按此估計求小明A組題得分比B組題得分多1分的概率；

（Ⅱ）記小明在比賽中的得分為ξ，按此估計ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

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（1）求實數(shù)的值；

（2）若，證明：.

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