Question

已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若圓x²＋y²＝的切線L與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，OP(O為坐標原點)與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）垂直

(1)設A(x₀，y₀)，則B(－x₀，－y₀)，F(c,0)(c²＝a²－b²)
|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.
又|AB|＝?＝2 ，0≤≤a²，
∴|AB|_min＝2b＝2，∴b＝1，∴橢圓E的方程為＋y²＝1.
(2)由題設條件可知直線L的斜率存在，設直線L的方程為y＝kx＋m.
∵直線L與圓x²＋y²＝相切，∴，
∴m²＝ (k²＋1)．
將y＝kx＋m代入＋y²＝1中得，
(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0，Δ＝8(2k²＋1－m²)＞0.
令P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，x₁≠x₂，
則x₁＋x₂＝①，x₁x₂＝②，
y₁y₂＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝③.
∴·＝x₁x₂＋y₁y₂＝＋＝＝0，
∴⊥，即OP與OQ垂直