已知橢圓C中心在原點O，焦點在x軸上，其長軸長為焦距的2倍，且過點M（1，
3
2
）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準方程：
（2）若斜率為1的直L與橢圓交于不同兩點A．B，求△AOB面積的最大值及此時直線L的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，從而得到
a2=b2+c2
a=2c
1
a2
+
9
4b2
=1
，從而求出a，b，c；
（2）設(shè)直線L的方程為y=x+b，與橢圓方程聯(lián)立消元得7x2+8bx+4b2-12=0，從而求出-
7
＜b＜
7
；再由韋達定理及兩點間的距離公式求|AB|的長度，再求點O到直線AB的距離，從而寫出△AOB的面積S，
利用基本不等式求最值及最值點．從而得到直線L的方程．
解答： 解：（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，
則可得，
a2=b2+c2
a=2c
1
a2
+
9
4b2
=1
，
解得，c=1，a=2，b=
3
；
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）設(shè)直線L的方程為y=x+b；
則與
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立消y可得，
7x2+8bx+4b2-12=0，
△=（8b）2-4×7×（4b2-12）＞0，
解得-
7
＜b＜
7
；
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達定理可得，
x1+x2=
-8b
7
，x1x2=
4b2-12
7
；
故|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2

=
64b2
49
-4
4b2-12
7
=
4
3
7
7-b2
；
故|AB|=
2
|x1-x2|=
4
6
7
7-b2
；
點O到直線AB的距離d=
|b|
2
；
故△AOB的面積S=
1
2
×
4
6
7
7-b2
×
|b|
2

=
2
3
7
(7-b2)b2

≤
2
3
7
•
7-b2+b2
2
=
3
；
（當(dāng)且僅當(dāng)7-b2=b2，即b=±
14
2
時，等號成立）；
故此時直線L的方程為：
y=x±
14
2
．
點評：本題考查了圓錐曲線的求法及直線與圓錐曲線的交點及形成的圖象的面積問題，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
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解不等式：x≥
x2-2x-a
x-1
．

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若實數(shù)a，b，c滿足a2b2+（a2+b2）c2+c4=4，則ab+c2的最大值為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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如果等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（　�。�
A、14B、21C、28D、35

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設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S=c2-（a-b）2，則sinC的值為（　�。�
A、
15
17
B、
8
17
C、
4
5
D、
3
5

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已知t＞0，若
∫
t
0
（2x-2）dx=3，則t=（　�。�
A、3B、2C、1D、3或-1

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已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實數(shù)，若f（x）≤f（
π
6
），對x∈R恒成立，且f（
π
2
）＜f（π），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　　）
A、[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z
B、[kπ，kπ+
π
2
]，k∈Z
C、[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈Z
D、[kπ-
π
2
，kπ]，k∈Z

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓心在拋物線y2=2x上，且與該拋物線的準線和x軸都相切的圓的方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點P（3，1）在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右準線上，過P點的方向向量為
a
=（-2，-5）的光線經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的右焦點，則這個橢橢圓的離心率為
 
．

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同步練習(xí)冊答案