是否存在過點P（4，0）的直線與圓C：x2+y2=4交于A，B兩點，使以A，B為直徑的圓恰好過原點，若存在，求出直線的方程．若不存在，說明理由．
考點：直線與圓的位置關(guān)系
專題：直線與圓
分析：存在，分兩種情況考慮：當直線的斜率不存在時，直線方程為x=4，顯然不成立；當直線斜率存在時，設(shè)為y=kx-4k，與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出x1+x2與x1x2，根據(jù)題意得到原點到直線的距離等于弦長的一半，求出k的值，即可確定出直線方程．
解答： 解：存在，分兩種情況考慮：
當直線的斜率不存在時，直線方程為x=4，顯然不成立；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-4）=kx-4k，
聯(lián)立得：
y=kx-4k
x2+y2=4
，
消去y得：（1+k2）x2-8k2x+16k2-4=0，
∴x1+x2=
8k2
1+k2
，x1x2=
16k2-4
1+k2
，
根據(jù)題意得：原點到直線的距離等于弦長的一半，
∵|AB|=
k2+1
|x1-x2|=
k2+1
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
16-48k2
1+k2
，d=
|4k|
1+k2
=
16k2
1+k2
，
∴d=
1
2
|AB|，即
16k2
1+k2
=
1
2
×
16-48k2
1+k2
，
整理得：64k2=16-48k2，
解得：k=±1，
則直線方程為y=x-4或y=-x+4．
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意得到原點到直線的距離等于弦長的一半是解本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=
ax2
ex
（a∈R，且a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，函數(shù)f（x）的極大值為
1
e
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若由1，x，x2構(gòu)成的集合中含有兩個實數(shù)，求出x滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=[ax2+（a+1）x+1]ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x-
a
x
，a∈R．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當a＞1時，設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x-1）+x-1+
a
x-1
|，若實數(shù)b滿足：b＞a且g（
b
b-1
）=g（a），g（b）=2g（
a+b
2
），求證：4＜b＜5．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）當a=4，b=2時，求h（x）的極大值點；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）的圖象C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點做x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明：C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（2x-1）的定義域為（0，1），求f（x）的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線L：y=-2x+6和點A（1，-1），過點A作直線L1與直線L相交于B點，且|AB|=5，求直線L1的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2014x+1+2013
2014x+1
的最大值為M，最小值為N，那么M+N=
 
．

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