Question

18．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝．投籃進(jìn)行到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)結(jié)束．設(shè)甲每次投籃命中的概率為$\frac{2}{5}$，乙每次投籃命中的概率為$\frac{2}{3}$，且各次投籃互不影響．現(xiàn)由甲先投．
（1）求甲獲勝的概率；
（2）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）由互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲獲勝的概率．
（2）由題意知投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由題意甲獲勝的概率：
p=$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{62}{125}$．
（2）由題意知投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{5}$，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{25}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{25}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{1}{25}$

EX=$1×\frac{4}{5}+2×\frac{4}{25}+3×\frac{1}{25}$=$\frac{31}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．