Question

已知函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x- 1 2 ，x≤1 log 1 2 x，x＞1

，若f（a²-3）＞f（2a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-3）∪（-1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（3，+∞）

C．（-3，1）

D．（-1，3）

Answer 1

分析：當(dāng)x≤1時(shí)，(

1

2

)x- 

1

2

是減函數(shù)，又 當(dāng) x＞1 時(shí)，log

1

2

x 也是減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，故由條件可得a² -3＜2a，由此解得a的范圍．

解答：解：當(dāng)x≤1時(shí)，(

1

2

)x- 

1

2

是減函數(shù)，此時(shí)的最小值(

1

2

)1-

1

2

=0．
又 當(dāng) x＞1 時(shí)，log

1

2

x 也是減函數(shù)，
且當(dāng)x=1時(shí)，兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值分別為(

1

2

)x-

1

2

=0，及 log

1

2

x=0，
所以函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
因?yàn)閒（a²-3）＞f（2a），所以a² -3＜2a，即 a² -2a-3＜0，
解得3＞a＞-1．
故選 D．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的求解和常用方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于中檔題．