Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=

a

2

n²．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）試討論數列{a_n}的單調性（遞增數列或遞減數列或常數列）．

Answer 1

分析：（1）根據S_n=

a

2

n²，a_n=S_n-S_n-1，n≥2，然后將首項代入驗證，可得數列{a_n}為公差為a的等差數列；
（2）根據a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）可知只需討論公差a的符號，從而確定數列{a_n}的單調性．

解答：解：（1）由已知，得a1=S1=

a

2

，
an=Sn-Sn-1=

a

2

(2n-1)=an-

a

2

(n∈N*，n≥2)…（3分）
又a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）…（2分）
所以，數列{a_n}為公差為a的等差數列．   …（1分）
（2）由a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）得
當a＞0時，數列{a_n}為遞增數列；        …（2分）
當a=0時，數列{a_n}為常數列；           …（2分）
當a＜0時，數列{a_n}為遞減數列．        …（2分）

點評：本題主要考查了等差數列的判定，以及數列的函數特性和數列的單調性，屬于基礎題．