Question

（2010•鄭州三模）已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AC=AA₁=A₁C．
（Ⅰ）求側(cè)棱AA₁與底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的正切值；
（Ⅲ）求側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）確定∠A₁AC為側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角，可得結(jié)論；
（2）取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)A₁M，MN，NA₁，可得∠A₁NM即為所求二面角的平面角，從而可得結(jié)論；
（3）作BH⊥AC于點(diǎn)H，因?yàn)锽B₁∥側(cè)面A₁ACC₁，所以點(diǎn)B到側(cè)面A₁ACC₁的距離即為BB₁到側(cè)面A₁ACC₁的距離，利用等面積可求．

解答：解：（1）因?yàn)閭?cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，AA₁?側(cè)面A₁ACC₁，
側(cè)面A₁ACC_1∩底面ABC=AC
所以直線AA₁在底面ABC內(nèi)的射影為直線AC
故∠A₁AC為側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角
又AC=AA₁=A₁C，所以∠A₁AC=60°為所求． （4分）
（2）取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)A₁M，MN，NA₁
由（1）知A₁M⊥AC
故A₁M⊥底面ABC，A₁M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁M=M，所以AB⊥平面A₁MN
則∠A₁NM即為所求二面角的平面角
在RtA₁MN中，A1M=

3

2

AC=3，MN=

1

2

BC=1，∠A1MN=90°
所以tan∠A1MN=

A1M

MN

=3，即所求二面角的正切值為3．     （8分）
（3）作BH⊥AC于點(diǎn)H，因?yàn)锽B₁∥側(cè)面A₁ACC₁
所以點(diǎn)B到側(cè)面A₁ACC₁的距離即為BB₁到側(cè)面A₁ACC₁的距離．
由（1）（2）知，BH的長(zhǎng)即為所求
在Rt∠ABC中，BH=

AB•BC

AC

=

2 6

3

所以側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離為

2 6

3

．        （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查線面距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．