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已知
a
=(cosx，2
3
cosx)，
b
=(2cosx，sinx)，且f（x）=
a
•
b
．
（I）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．
分析：（I）利用兩個向量的數量積公式化簡f（x）的解析式為 2sin（2x+
π
6
）+1，從而求得它的周期．再由
2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數的單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-
1
2
，B=
2π
3
 得到 f（A）=2sin（2A+
π
6
）+1，根據A的范圍，
求出 2A+
π
6
 的范圍，可得sin（2A+
π
6
）的范圍，從而求得f（A）的取值范圍．
解答：解：（I）f（x）=
a
•
b
=2cos2x+2
3
sinxcosx=2sin（2x+
π
6
）+1，故函數的周期為π．
令  2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，可得  kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈z，
故函數的單調遞增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-
1
2
，B=
2π
3
，∴f（A）=2sin（2A+
π
6
）+1．
由于 0＜A＜
π
3
，∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
5π
6
，＜
1
2
sin（2A+
π
6
）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范圍為（2，3]．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，兩個向量的數量積公式，正弦定理的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的最小正周期，并寫出f（x）的減區(qū)間；
（2）當x∈[0，
π
2
]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(sinx，cosx)，記f(x)=
a
•
b
，要得到函數y=sin2x-cos2x的圖象，只須將y=f（x）的圖象（　�。�
A、向右平移
π
4
個單位
B、向右平移
π
2
個單位
C、向左平移
π
4
個單位
D、向左平移
π
2
個單位

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosx，-sin2x)，
b
=(6sinx+
3
cosx，
3
)，函數f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調減區(qū)間；
（2）若x∈[0，
5π
12
]，求函數f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值時相應的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx+
3
sinx，
3
cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的單調增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•深圳二模）已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數f（x）的最大值，并指出此時x的值．

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