Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在上述△ABC中，若角C的對邊c=1，求該三角形內(nèi)切圓面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），得（sinA+sinB）cosC=0，從而得到C=90°，由此△ABC是直角三角形．
（2）內(nèi)切圓半徑r=

1

2

(a+b-c)=

2

2

sin(A+

π

4

)-

1

2

，從而內(nèi)切圓半徑的取值范圍是（0，

2 -1

2

]，由此能求出該三角形內(nèi)切圓面積的最大值．

解答： 解：（1）由sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），得：
sin（B+C）+sin（A+C）=sinCcosA+sinAcosB，
sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinAcosB，
sinBcosC+sinAcosC=0，
（sinA+sinB）cosC=0，
∵sinB+sinA≠0，
∴cosC=0，∴C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）內(nèi)切圓半徑r=

1

2

(a+b-c)
=

1

2

(sinA+sinB-1)
=

2

2

sin(A+

π

4

)-

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴內(nèi)切圓半徑的取值范圍是（0，

2 -1

2

]．
∴該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為S=π•(

2 -1

2

)2=

3-2 2

4

π．

點評：本題考查三角形形狀的判斷，考查三角形的內(nèi)切圓面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運用．