函數(shù)的定義域關于原點對稱，但不包括數(shù)0，對定義域中的任意實數(shù)，在定義域中存在使，，且滿足以下3個條件。
（1）是定義域中的數(shù)，，則
（2），（是一個正的常數(shù)）
（3）當時，。
證明：（1）是奇函數(shù)；
（2）是周期函數(shù)，并求出其周期；
（3）在內為減函數(shù)。

證：（1）對定義域中的，由題設知在定義域中存在
使，，
則
∴為奇函數(shù)
（2）因，∴，于是

若，則

若，則



仍有。
∴為周期函數(shù)，是它的一個周期。
（3）先證在內為減函數(shù)，事實上，設，
則，則
（當時，）。

所以
當時，
，于是


即在內，也是減函數(shù)，從而命題得證。
略
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知f（x）是R上的增函數(shù)，且f（x）<0,則函數(shù)g(x)=x2f(x)的單調情況一定是(    )                                       
A．在(-∞，0)上遞增B．在(-∞，0)上遞減C．在R上遞增D．在R上遞減

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列函數(shù)中，在內有零點且單調遞增的是(          )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時，求的極值；     
（2）求的單調區(qū)間；
（3）若對任意的，恒有 成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設，函數(shù)．
（1）求的定義域，并判斷的單調性；
（2）當定義域為時，值域為，求、的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.
（1）判斷函數(shù)是否是有界函數(shù)，請寫出詳細判斷過程；
（2）試證明：設，若在上分別以為上界，
求證：函數(shù)在上以為上界；
（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，
求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)；．
(I)當時，求函數(shù)f（x）在上的值域；
（II）若對任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)若（為常數(shù)），且對任意，總有成立，求M的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則使的的取值范圍是（　　�。�
A．B．　　C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)是定義在（0，）上的增函數(shù)，且
（1）求的值；（2）若，解不等式

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