Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為常數，且m＞0）．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列．
（2）設數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式．
（3）在滿足（2）的條件下，求數列{

2n+1

bn

}的前n項和T_n

Answer 1

（1）證明：當n=1時，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m為常數，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）．
∴數列{a_n}是首項為1，公比為

m

1+m

的等比數列．
（2）由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列．
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．
（3）由（2）知bn=

2

2n-1

，則

2n+1

bn

=2n(2n-1)．
所以Tn=

22

b1

+

23

b2

+

24

b3

++

2n

bn-1

+

2n+1

bn

，
即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5++2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
則2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5++2ⁿ×（2n-3）+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴--2ⁿ⁺¹，
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2n+1×(2n-3)+6．