Question

12．已知函數f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函數．
（1）求實數a和b的值；
（2）證明y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減；
（3）已知k＜0且不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0對任意的t∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數的定義域為R，則f（x）是定義域為R的奇函數，則有f（0）=0，f（-1）=-f（1）即可求a、b的值．
（2）定義法證明其單調性即可．
（3）利用單調性將不等式化簡，分離參數，求二次函數的最值來求實數k的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函數．
可知函數f（x）的定義域為R，有f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即：0+a=0，解得a=0，那么：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$
由f（-1）=-f（1）
得：$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$
解得：b=0
所以：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
那么：f（-x）=$\frac{-x}{（-x）^{2}+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=f（x）
∴f（x）是定義域為R的奇函數．
（2）證明：
由（1）得f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
設1＜x₁＜x₂，
那么：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0
可得：f（x₁）-f（x₂）＞0
所以：函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減；
（3）由（2）函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減；
∵奇函的單調性在其定義域內相同，
∴函數f（x）在定義域R上的單調遞減；
不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0，可得：f（t²-2t+3）＜f（1-k），
轉化為：t²-2t+3＞1-k．
即：（t-1）²+1＞-k對任意的t∈R恒成立．
解得：-1＜k，
∵k＜0，
所以：實數k的取值范圍（-1，0）．

點評 本題考查了函數的性質的運用能力和單調性的證明，以及利用單調性求解恒成立的問題，屬于中檔題．