Question

2．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，則異面直線AB₁與BC₁所成的角為（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 分別取AB，BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，連結(jié)DE，EF，DF，則∠DEF為所求角或其補(bǔ)角，求出△DEF的三邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算∠DEF即可．

解答 解：分別取AB，BB₁，B₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，M，
連結(jié)DE，EF，DF，DM，F(xiàn)M，
∴DE∥AB₁，EF∥BC₁，
∴∠DEF為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補(bǔ)角．
∵AC=AB=BC=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，
∴AB₁=BC₁=2$\sqrt{3}$，∴DE=EF=$\frac{1}{2}$BC₁=$\sqrt{3}$，
又FM=$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}$=1，DM=AA₁=2$\sqrt{2}$，
∴DF=3，
在△DEF中，由余弦定理得cos∠DEF=$\frac{3+3-9}{2•\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠DEF=$\frac{2π}{3}$，
∴異面直線AB₁與BC₁所成的角為$\frac{π}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，利用平行關(guān)系作出角是關(guān)鍵，屬于中檔題．