設(shè)雙曲線一支C∶y＝和直線l∶y＝kx．

(1)

k為何值時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)？

(2)

若l與C的交點(diǎn)為A、B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程

(3)

若線段AB上的點(diǎn)Q滿足＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

答案：
解析：

(1)

　　解：由方程組

　　消去x，得(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0．　�、�

　　直線l與雙曲線y2＝(x－1)2＋1的上支C有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程①有兩個(gè)相異的正根，

　　∴

　　解得＜k＜1． ∴＜k＜1，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)．

(2)

　　解：設(shè)AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則(＜k＜1)

　　消去k，得x2－y2＝x(x＞2)，

　　∴AB中點(diǎn)的軌跡方程為x2－y2－x＝0(x＞2)．

(3)

　　解：設(shè)Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由＝＋，

　　得＝＋，即y＝＝2k．

　　∴x＝2，y∈(，2)，即為所求點(diǎn)Q的軌跡方程，軌跡是一條無端點(diǎn)的線段．

　　分析：利用圖形的幾何性質(zhì)、方程的韋達(dá)定理，通過消參數(shù)的方法求軌跡方程．

　　點(diǎn)評(píng)：正確運(yùn)用曲線y＝的范圍是解決本題的關(guān)鍵．由于曲線C的圖象全在x軸上方，故當(dāng)y取兩個(gè)不等正值時(shí)方能保證l與C有兩個(gè)交點(diǎn)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知雙曲線C：（1－）＋＝（a＞1），設(shè)該雙曲線上支的頂點(diǎn)為A，且上支與直線y＝－x相交于P點(diǎn)，一條以A為焦點(diǎn)，M（0，m）為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線通過點(diǎn)P，設(shè)直線PM的斜率為k，且≤k≤，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：潮陽一中2007屆高三摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：044

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

(3)設(shè)直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．S

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年潮州市潮陽一中高三考數(shù)學(xué)摸底測(cè)試(理科數(shù)學(xué)) 題型：044

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

(3)設(shè)直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：潮陽一中2007屆高三摸底考試、文科數(shù)學(xué) 題型：044

解答題

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

(1)

求雙曲線C的方程；

(2)

若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

(3)

設(shè)直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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