Question

已知向量

p

=（

3

2

sin2x，-f（x）），

q

=（-m，cos²x+m-

1

2

）（m∈R） 且

p

與

q

互為相反向量．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若x∈[0，

π

3

），f²（x）-λf（x）+1的最小值為-2，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）由

p

與

q

互為相反向量可得 m=

3

2

sin2x，f（x）=cos²x+m-

1

2

，化簡可得f（x）的解析式．
（2）根據(jù)x∈[0，

π

3

），可得f（x）∈[

1

2

，1]，令 h=f²（x）-λf（x）+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得h的最小值，再由最小值為-2求得實(shí)數(shù)λ的值．

解答：解：（1）由

p

與

q

互為相反向量可得 m=

3

2

sin2x，f（x）=cos²x+m-

1

2

，
∴f（x）=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，

π

3

），∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

），∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，即f（x）∈[

1

2

，1]．
 令 h=f²（x）-λf（x）+1，當(dāng)

λ

2

＜

1

2

時(shí)，則h在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，則f（x）=

1

2

時(shí)，h取得最小值為-2，
故

1

4

-

1

2

λ+1=-2，解得 λ=

13

2

 （舍去）．
當(dāng)

1

2

≤

λ

2

≤1時(shí)，f（x）=

λ

2

時(shí)，h取得最小值為-2，即 

4-λ2

4

=-2，解得λ=±2

3

（舍去）．
當(dāng)

λ

2

＞1時(shí)，h在[

1

2

，1]上是減函數(shù)，f（x）=1 時(shí)，h取得最小值為 1-λ+1=-2，解得 λ=4．
綜上可得，λ=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．